Какова длина гипотенузы в треугольнике dkf, если углы k и f равны 30° и 90°, а катет FD равен 5,6?
Исчерпывающий ответ:
Теорема Пифагора утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, гипотенуза обозначена буквой dk, а катеты — FD и FK.
Так как угол f равен 90°, то сторона dk является гипотенузой треугольника. Поэтому, мы знаем, что dk = √(FD^2 + FK^2).
Для решения задачи, нам нужно найти значение FK, в то время как значение FD уже дано — 5,6.
Зная, что угол k равен 30°, мы можем использовать соответствующую тригонометрическую функцию, чтобы найти длину стороны FK.
В прямоугольном треугольнике dkf, мы можем применить функцию синуса, так как длина противолежащего катета (FK) и гипотенузы (dk) известны нам.
sin(k) = FK/dk
sin(30°) = FK/dk
Так как синус 30° равен 1/2, мы можем записать следующее уравнение:
1/2 = FK/dk
Так как dk = √(FD^2 + FK^2), мы можем заменить dk в уравнении:
1/2 = FK/√(FD^2 + FK^2)
Далее, для того чтобы избавиться от знаменателя под корнем, возведем оба выражения уравнения в квадрат:
(1/2)^2 = (FK/√(FD^2 + FK^2))^2
1/4 = FK^2/(FD^2 + FK^2)
Далее, умножим обе части уравнения на (FD^2 + FK^2):
(1/4)*(FD^2 + FK^2) = FK^2
(1/4)*FD^2 + (1/4)*FK^2 = FK^2
Раскроем скобки:
FD^2/4 + FK^2/4 = FK^2
FD^2 + FK^2 = 4*FK^2
FD^2 = 3*FK^2
Теперь, мы можем заменить значение FD^2 на известное нам значение:
5.6^2 = 3*FK^2
Из этого уравнения, мы можем найти значение FK:
FK^2 = 5.6^2/3
FK^2 ≈ 31.36/3 ≈ 10.453
FK ≈ √10.453 ≈ 3.232
Таким образом, длина стороны FK составляет приблизительно 3.232.
Наконец, мы можем найти длину гипотенузы dk, используя формулу:
dk = √(FD^2 + FK^2)
dk = √(5.6^2 + 3.232^2)
dk ≈ √31.36 + 10.453
dk ≈ √41.813
dk ≈ 6.47
Таким образом, длина гипотенузы dk составляет приблизительно 6.47.