Каков объем цилиндра, образованного диагональю боковой грани прямой правильной призмы длиной 12 см, образующей угол 30° с боковым ребром?
Проверенный ответ:
Прямая призма — это трехмерное тело, у которого основаниями являются правильные многоугольники, а все боковые грани — прямоугольники. Боковое ребро — это отрезок, соединяющий две точки на противоположных гранях призмы. Грань, образованная боковым ребром, называется боковой гранью призмы. Диагональ боковой грани — это отрезок, соединяющий две вершины боковой грани.
Теперь рассмотрим решение задачи.
1. Дано: длина прямой призмы — 12 см, угол между диагональю боковой грани и боковым ребром — 30°.
2. Нам нужно найти объем цилиндра, образованного диагональю боковой грани.
Для решения задачи мы будем использовать формулу для объема цилиндра, которая выглядит следующим образом:
V = π * r^2 * h,
где V — объем цилиндра, π — число пи (приближенное значение 3.14), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.
Зная длину прямой призмы (12 см), мы можем найти радиус основания цилиндра. Обозначим его как r.
Так как боковое ребро призмы образует угол 30° с диагональю боковой грани, то мы можем воспользоваться тригонометрией для определения радиуса основания цилиндра.
3. Найдем значение синуса угла 30°. Синус угла можно вычислить как отношение длины противоположенной стороны к гипотенузе (главной диагонали) прямоугольного треугольника. Так как гипотенуза равна 12 см (длина прямой призмы), а противоположенная сторона — это радиус основания цилиндра r, формула будет выглядеть следующим образом:
sin(30°) = r / 12.
Теперь найдем значение синуса угла 30°. Так как sin(30°) = 0.5, то мы можем записать уравнение в следующем виде:
0.5 = r / 12.
Помножим обе части уравнения на 12:
0.5 * 12 = r.
Получаем:
6 = r.
Таким образом, радиус основания цилиндра равен 6 см.
4. Теперь нам нужно найти высоту цилиндра. Высота цилиндра равна длине бокового ребра призмы, поскольку они образуют одну и ту же прямую линию. Так как боковое ребро призмы равно 12 см, то и высота цилиндра тоже равна 12 см.
5. Теперь у нас есть все необходимые значения для нахождения объема цилиндра. Подставим значения радиуса и высоты в формулу для объема цилиндра:
V = π * r^2 * h,
V = 3.14 * 6^2 * 12,
V = 3.14 * 36 * 12,
V = 1351.68 см³.
Таким образом, объем цилиндра, образованного диагональю боковой грани прямой правильной призмы длиной 12 см, образующей угол 30° с боковым ребром, равен 1351.68 см³.